距離の２乗（ａ＾２－２ａｂ＋ｂ＾２）暗算の別法（長さん）

以前、座標計算の方法について論じたときに、
出発点から、最接近点までの距離をａ、
出発点から、排除域限界円までの距離をｘ、
排除域限界円から最接近点までの距離をｂとして
距離ｘを未知数とし、
ｘ＝ａ－ｂなのだが、実際には
ａ＾２が求まっていて、ａには計算誤差がある為、
Ｘ＾２＝ａ＾２－２ａｂ＋ｂ＾２を、迂回して

暗算で求める

事を議論した。なお、０．７＾２≒０．５は、この
ケースはたまたま、とても簡単になっている。そ
こでそのときに、近似的なａ＝√ａ＾２は、
頭の中で求めることになるとしたが、

この計算が面倒だったとしたら、他に方法は無
いのか

について、その後再考した。
　結論は、

有る

で、方法は、

常用対数の数値を、有る程度覚えていて、

ａ＾２とｂ＾２を常用対数化して、２（√ａ＾２×ｂ＾２）
を求める

となった。
　では、議論を開始する。
覚える必要のある数字は、以下のものだとみら
れる。
２の常用対数：０．３０１０
３の常用対数：０．４７７１
更に、次の数を加えておく。
７の常用対数：０．８４５１
逆に、次の知見が必要とみられる。
常用対数０．１の真数：１．２６
常用対数０．２の真数：１．５９（←今回使用）
常用対数０．４の真数：２．５１
常用対数０．８の真数：６．３０
なお、最後の２つは、星の等級の階差として
有名。だが２．５より０．０１大きい事は、
余り知られていない。
以上程度である。例として、以前に行った計算
を繰り返してみる。
ａ＾２＝５．２７６
ｂ＾２＝０．５－０．０２４＝０．４７６
で排除域限界円までの、自駒出発点からの距離
の２乗、ｘ＾２を求めるケースであった。

≒５．２７６－２×{√５．２７６×（０．５－０．０２４）}＋（０．５－０．０２４）
＝５．２７６－２×（√５．２７６×０．４７６）＋０．４７６
これを前は、

≒５．２７６－２×２．３×０．７＋０．４７６

としたが、（√５．２７６×０．４７６）の部分
を対数で出してみる。まず、
５．２７６の常用対数：０．７＋０．３×０．０８（程度）
≒０．７２４
次に、
０．４７６の常用対数：－１＋０．７－０．２４×０．１（程度）
≒－１＋０．６７６
なお、上の階差が０．０８程度なのは６の常用対
数が、０．７７８１程度で５の場合と０．０８程度
の差であるため。
下の階差が０．１なのは、４の常用対数が
０．６０２０で、５の場合と０．１程度の差であ
るためである。
そこで平均をとると、：０．７２４＋０．６７６－１＝
０．４で、その１／２は０．２である。よって、
真数は１．５９前後となり、１．６１とした上の
計算とほぼ合う。このやり方の場合、

平方根を求める部分が無い。

そこで以下は、

≒５．２７６－３．１８＋０．４７６
＝２．０９６＋０．４７６
＝２．５７２
となって、以前述べた、
≒５．２７６－３．２２＋０．４７６
＝２．０５６＋０．４７６
＝２．５３２
という計算とは、大差の無い結果となる。
　今の説明は、少し細かくしたので、頭の中の
暗算だと、私程度のレベルでは、少しキツイ感じ
もする。が、
{√５．２７６×（０．５－０．０２４）}が、
対数経由計算の結果、平方根計算部分が、
０．４／２＝０．２で、真数１．５９程度と、
簡単に出てしまうと、かなり楽な感じがする。
電卓で計算すると－３．１８ないし－３．２２
の部分は本当は、－３．１６９４６であり、

２．５８２５３が正しく、対数計算の方が良い。

何れにしても、ａ＾２とｂ＾２の幾何平均が、
ａ×ｂなので、このケースはａ×ｂは

常用対数に直せば、平方根計算は経由しなかった

という知見は、落すべきではなかった。そのため
私は今回、己の数学的力の無さを、かなり反省さ
せられる事になった。(2020/06/26)