何故月の太陽潮汐摂動不等はAMだけFM変調無い(長さん)
今回は本質的に、日本での囲碁の藤原京時代の
隆盛の原因となった、月の視位置、特に黄経の
速度不等の第2成分、出差に、グラフ上、
AM変調形だけ出て、FM変調成分が見えない
理由について解明する。回答を書くと、
数学的にAM変調波形とFM変調波形の合成は、
だいたいだが、AM変調だけ考慮に入れた、か
のように表される場合がある
事が判った。
では、説明を開始する。
以前述べたように、月の黄経不等は、
中心差+出差
でだいたいは、表わされるはずである。
出差の周期は、中心差の周期よりも、朔望月と
月の公転周期の差の分だけ、公転周期とは逆向
きに、朔望月より長いので、年に2回の黄経
不等曲線にAM唸りができるという訳である。
つまり
出差周期=朔望月(29.5日位)+(朔望月-公転周期)
であり、出差周期-公転周期/公転周期≒0.17位
である。
ところで以前の本ブログのシミュレーション
結果から見て、月の黄経度不等曲線は、AM
唸りとFM唸りが両方入っていて、以下のよう
な形の曲線グラフになりそうだとの結果だった。
{1-出差中心差比cos(0.17θ)}sin{θ+出差中心差比×sin(0.17θ)}
つまり、1-出差中心差比cos(0.17θ)
がAM唸りで、sin{θ+f・sin(βθ)}
という形の、やや煩雑な関数の{}の内部の
θ+出差中心差比×sin(0.17θ)
がFM変調であるグラフである。
しかし、実際に月には、FM唸りは無くAM
変調を引き起こす、小さな周期差のsinカー
ブの重ね合わせであるかのように分解される。
つまり、
sin(θ)-0.2sin{(1-0.17)θ}
という曲線であると予想される。
実はここからは、面倒になったので、数値計算
してしまったのだが、
{1-0.2cos(0.17*θ)}sin{θ+0.2×sin(0.17θ)}
≒sin(θ)-0.2sin{(1-0.17)θ}・・(1)
である事が、今回判った。
下記は、
{1-0.2cos(0.17*θ)}sin{θ+0.2×sin(0.17θ)}
-sin(θ)
で御愛嬌だが、0.2を0.05に、0.17
の部分が0.10に、なっているグラフである。
-0.2sin{(1-0.17)θ}の
分と、一目で判る、きれいなsinカーブが、
出差の成分として現われている。
AM変調を入れるためにsinカーブに唸り
をつけると、AM変調のグラフになるだけでな
く、共に付け加えた
FM変調成分が、消えてしまう場合が数学的に
ある
のであった。試しに
{1-0.2cos(0.17*θ)}sin{θ+0.2×sin(0.17θ)}
-{sin(θ)-0.2sin(1-0.17)θ}
のグラフにあたるものを書くと、厳密ではないが、
-0.2sin(1-0.17)θの項に
あたる部分が新たに加わる事で、差分は、見事に
相殺してしまった。
つまり、出差成分には本来は、月の軌道離心率
を変動させる成分と、近地点を振動させる成分が
混じっていたのであった。
数学的に周期の少しずれた、唸りを作り出すsin
カーブを足せば、中心差だけの場合から、視覚的
に”そうだろう”と予想される、太陽潮汐力によ
って加わった、AM変調成分だけでなく、実は
FM変調成分(近地点振動)までもが、たまたま
相殺されてしまうように、なっているという事だっ
たのであった。
なお、上の近似等式の証明は、高校で三角関数
を習いたての受験生には、国立大学入試レベル
の問題であろうから、式の展開で解けるだろう。
私には、面倒くさいのでちょっと無理だが。
なお、0.2の一乗項に関して、だいたいこう
なるのは、私にも判る。問題はもっと高次の項に
関する部分である。係数0.2はわずかに変化
し、sin(1-0.17)θの、実は位相
が、わずかに変わる感じがするが、私には解けな
い。国立大学に合格する程度の学力の受験生なら、
私と異なり、その二乗の高次項も、解くのだろう。
(2020/05/18)
隆盛の原因となった、月の視位置、特に黄経の
速度不等の第2成分、出差に、グラフ上、
AM変調形だけ出て、FM変調成分が見えない
理由について解明する。回答を書くと、
数学的にAM変調波形とFM変調波形の合成は、
だいたいだが、AM変調だけ考慮に入れた、か
のように表される場合がある
事が判った。
では、説明を開始する。
以前述べたように、月の黄経不等は、
中心差+出差
でだいたいは、表わされるはずである。
出差の周期は、中心差の周期よりも、朔望月と
月の公転周期の差の分だけ、公転周期とは逆向
きに、朔望月より長いので、年に2回の黄経
不等曲線にAM唸りができるという訳である。
つまり
出差周期=朔望月(29.5日位)+(朔望月-公転周期)
であり、出差周期-公転周期/公転周期≒0.17位
である。
ところで以前の本ブログのシミュレーション
結果から見て、月の黄経度不等曲線は、AM
唸りとFM唸りが両方入っていて、以下のよう
な形の曲線グラフになりそうだとの結果だった。
{1-出差中心差比cos(0.17θ)}sin{θ+出差中心差比×sin(0.17θ)}
つまり、1-出差中心差比cos(0.17θ)
がAM唸りで、sin{θ+f・sin(βθ)}
という形の、やや煩雑な関数の{}の内部の
θ+出差中心差比×sin(0.17θ)
がFM変調であるグラフである。
しかし、実際に月には、FM唸りは無くAM
変調を引き起こす、小さな周期差のsinカー
ブの重ね合わせであるかのように分解される。
つまり、
sin(θ)-0.2sin{(1-0.17)θ}
という曲線であると予想される。
実はここからは、面倒になったので、数値計算
してしまったのだが、
{1-0.2cos(0.17*θ)}sin{θ+0.2×sin(0.17θ)}
≒sin(θ)-0.2sin{(1-0.17)θ}・・(1)
である事が、今回判った。
下記は、
{1-0.2cos(0.17*θ)}sin{θ+0.2×sin(0.17θ)}
-sin(θ)
で御愛嬌だが、0.2を0.05に、0.17
の部分が0.10に、なっているグラフである。
-0.2sin{(1-0.17)θ}の
分と、一目で判る、きれいなsinカーブが、
出差の成分として現われている。
AM変調を入れるためにsinカーブに唸り
をつけると、AM変調のグラフになるだけでな
く、共に付け加えた
FM変調成分が、消えてしまう場合が数学的に
ある
のであった。試しに
{1-0.2cos(0.17*θ)}sin{θ+0.2×sin(0.17θ)}
-{sin(θ)-0.2sin(1-0.17)θ}
のグラフにあたるものを書くと、厳密ではないが、
-0.2sin(1-0.17)θの項に
あたる部分が新たに加わる事で、差分は、見事に
相殺してしまった。
つまり、出差成分には本来は、月の軌道離心率
を変動させる成分と、近地点を振動させる成分が
混じっていたのであった。
数学的に周期の少しずれた、唸りを作り出すsin
カーブを足せば、中心差だけの場合から、視覚的
に”そうだろう”と予想される、太陽潮汐力によ
って加わった、AM変調成分だけでなく、実は
FM変調成分(近地点振動)までもが、たまたま
相殺されてしまうように、なっているという事だっ
たのであった。
なお、上の近似等式の証明は、高校で三角関数
を習いたての受験生には、国立大学入試レベル
の問題であろうから、式の展開で解けるだろう。
私には、面倒くさいのでちょっと無理だが。
なお、0.2の一乗項に関して、だいたいこう
なるのは、私にも判る。問題はもっと高次の項に
関する部分である。係数0.2はわずかに変化
し、sin(1-0.17)θの、実は位相
が、わずかに変わる感じがするが、私には解けな
い。国立大学に合格する程度の学力の受験生なら、
私と異なり、その二乗の高次項も、解くのだろう。
(2020/05/18)