月の中心差の黄経不等は、サインカーブで良いのか（長さん）

国立天文台暦計算室のページその他で、月の黄経
不等の第１項の中心差は、約６°．３の振幅の、
サインカーブだと書いてある。今回は疑うわけで
はないが、本当にサインカーブになるのかどうか
をチェックしてみた。ただし、今までの議論と同
じく軌道傾斜角は０°に近く、離心率も０に近く、
１からは遠い月の軌道について考える。なおこの
考察は藤原京時代の囲碁の隆盛の原因を、定朔法
の暦、儀鳳暦の日本に於ける７世紀の採用に、関
連付けるためにしている。
　結論は証明するのが

私にはしんどかったが、合っていた。

では、議論を開始する。
　ポイントは、軌道傾斜が０°で、不等がまるご
と、近点角偏差から来る場合だけ考える、単純化
をしても平均近点角から真近点角に変換するのに、

途中に離心近点角を経由しなければならない事

だ。結論から述べると、

真近点角偏差＝（１＋ａｓｉｎ（θ））×（１＋ｂｓｉｎ（θ））
≒１＋（ａ＋ｂ）×ｓｉｎ（θ）

だから、サインカーブになるという論理だが、
（１＋ａｓｉｎ（θ）の証明は簡単だが、

（１＋ｂｓｉｎ（θ））の証明が結構難しい

というパターンという意味である。蛇足だが、
プトレマイオスがエカントという、奇妙な概念を
考えたのは、ａとｂが比較的近く、軌道離心率ｅ
にも近いためである。
　戻すと（１＋ａｓｉｎ（θ））側の証明は、
ケプラーの方程式が、

Ｍ＝Ｅ－ｅｓｉｎＥ

でＥが求める離心近点角だが、離心率が小さい月
の軌道では、平均近点角Ｍとの間に、Ｍ≒Ｅが成
り立つので、

Ｅ≒Ｍ＋ｅｓｉｎＭ

であるで証明はおしまいである。（ｅは離心率で
月では、５％の桁だ。）
　ところが（１＋ｂｓｉｎ（θ））側の方は、

ｔａｎ（真近点角／２）＝√（１＋ｅ）／（１－ｅ）×ｔａｎ（Ｅ／２）

という形になっている。真近点角（ラジアン）＝・・・
という式は、成書には載っていない。なお、真近
点角（ラジアン）時間微分＝・・・という式が、
木下宙氏の成書”天体と軌道の力学”に有ったが、
私には理解できなかった。
　自分で解けば良いではないかと言われれば、そ
れまでだが。考えているうちに、私は正直嫌気が
差したので、数値計算に切り替えた。国立大学へ
の大学受験生程度の数学力が有れば、この問題は
すらすら解けたであろう。
　ともあれ結果は、以下の図のようになった。



なおこの問題に限っては、定義となる図形に戻っ
て、日がな一日のんびりと、その図を眺めていれ
ば、そうしていたら、私でも解けていたのかもし
れないと、後付けで気がついた。
　ともあれ確かに、離心近点角から真近点角への
変換も、差分はｓｉｎカーブになっているようだ。
そこで、

平均近点角から真近点角への変換で、偏差は離心
率が小さい軌道では総合的に、ｓｉｎカーブにな
ると見てよさそうだ。

以上のように、冒頭で述べた通り、私にもやっと
こさっとこ、理解できたという次第である。
(2020/05/20)