（コラム）半径３乗Ｔ２乗則は逆２乗Ｋ氏第一第二３法則よりどう導く（長）

東工大教授の中島秀人氏によると、万有引力の発見
にまつわる物理学史は、さいきんだいぶん進んで
いるようである。私などは、広瀬秀雄の、
”天文学史の試み”（誠文堂新光社・１９８１年、
定価２千３百円）で”ニュートンとライプニッツは、
逆２乗則から、ケプラーの第一、第二、第三法則を
全部解いたので、ニュートン力学の創始者になった。
が、グリニジ天文台台長のエドモンド＝ハレーと、
フックの法則で有名なイギリスのロバートフックは、

逆２乗則、ケプラーの第一法則（惑星軌道は楕円で
焦点に太陽）と、ケプラーの第二法則（面積速度
一定）から、第３法則（軌道長半径の３乗は公転
周期の２乗）しか導けなかったので、創始者になれ
なかった”

でおしまいだったが、今はそう単純な経緯では、
なかったとされるらしい。
　では、エドモンド＝ハレーとフックは、表題のよ
うにどうやって、

太陽からの引力の距離逆２乗依存則と、ヨハネス＝
ケプラーの惑星の軌道に関する第一法則と第二法
則の３法則から、残りのケプラーの第３法則を導い
たのか

をここでは、高校数学で極限を教わったころの、学
生のレベルで考えてみる。つまり、”ε－δの思想”
は、彼には余り、判っていないとしよう。
解くべき課題は２つある。

１．円軌道のときには、半径の３乗と公転周期の２
乗は比例する。
２．軌道長半径が同じなら、離心率が０から１の範
囲で違っても、公転周期は等しい。

では、解いて見る。
　１については、１天文単位の地球の軌道と、
１００天文単位のカイパーベルト天体の軌道の公転
周期を比較するのが、実は

最も判りやすい。

観測事実によれば、このカイパーベルト天体の公転
速度は、だいたい３ｋｍ／秒で冥王星に近い値であ
り、地球の約３０ｋｍ／秒の１／１０である。
　仮に、逆２乗則が成立するとすれば、１万分の１
の加速度が、カイパーベルト天体には、地球に比較
して働いているはずであり、

１０００回加速度が働くと、１００万倍天体の位置
を変え、地球に関して１回の場合と、太陽から見て
同じ角度だけ、カイパーベルト天体を移動させる。

なぜなら、２回目の加速のときには、元々１つ動い
た位置から始まるから、２つ動くのであり、３回目
の加速のときには、３つ動いた位置から１つ動かす
のであり、４回目の加速のときには、６つ動いた位
置から１つ動かすので、ｎ回後には、級数の和の
計算で、

ｎ（ｎ＋１）／２＝１＋２＋３＋４＋・・＋ｎ

になっているためである。ところで、

ｎ（ｎ＋１）／２＝ｎ＾２／２＋ｎ／２

だが、ｎが大きくなると、ｎ／２はｎ＾２／２
に対して無視できるようになる。この状態で、
ｎがＮである場合と、１０００Ｎである場合を比較
すると、１０００倍加速の今のカイパーベルト天体
の例では、

位置変化が１：１００万になる

のである。ところで、地球軌道と軌道半径１００倍
のカイパーベルト天体とは、軌道が１００倍の大き
さ比で、当然相似である。そして、カイパーベルト
天体の１０００加速は地球の１回加速と同じ形であ
り、カイパーベルト天体の１回加速は地球に対する
太陽引力の１回の１万分の一であったから、カイパー
一回加速の１００万倍なら、地球１回の１００倍で、

１：１００の相似になっている。

だから、３６０°公転するには、１００天文単位軌
道のカイパーベルト天体は、地球の１０００倍の
１０００年掛かる事になり、ケプラーの第３法則は、
ツジツマが合っているのである。いまは、軌道の半
径が１００倍の場合の、円軌道を例にとったが、
その他の倍率でも、状況はいっしょなので、ケプラー
の第３法則は、円軌道なら、ニュートンの逆２乗則
から出る。
　２．の”軌道長半径が同じなら、離心率が０から
１の範囲で違っても、公転周期は等しい。”は、
積分を使わないのなら、次のようにして解く。
ケプラーの方程式は、ニュートン力学以前から知ら
れている。
　離心近点角Ｅ→平均近点角Ｍ（ケプラーの方程式）
であり、

Ｍ=Ｅ－ｅ×ｓｉｎ（Ｅ）

であり、ｅは、

このケースに限り、楕円の離心率の事

であるので注意が必要だ。この式で今の問題を解く
ときに重要な事は、

Ｅが９０°のときに、ＭとＥとの変化比が１になる

という事である。鈴木敬信氏が自身の成書の、新
天文学通論等で、強調して主張している。
ｓｉｎ（Ｘ）の微分がｃｏｓ（Ｘ）になり、
ｃｏｓ（π／２）が０なのを知っていれば、あたり
前だが。知らなくても、

ｓｉｎ関数は９０°付近の変化が緩いので、
－ｅ×ｓｉｎ（Ｅ）は有っても無くても同じだと
微積の無い時代にも、このくらいは判っただろう。

また、離心率ｅの楕円軌道の短半径をｂとすると、
離心率ｅの楕円軌道の面積は、πａｂであるから、
離心率０の円がπａ＾２であるのと比較して面積は、

ｂ／ａ倍となって、小さくなる。

そこで、楕円の場合の離心近点角が９０°の点に
おける、面積速度について考えると、以下の図のよ
うになっている。



注意すべき点は、

離心近点角の定義についてだ。

天体の位置から、

長半径の方向の大概はｘ軸に固定する線に対して、
ｙ軸に平行になるように、垂線を立てて、補助円と
交わる点と、楕円の中心（真ん中）と結んで、ｘ軸
との角度を測る

のである。９０°の場合には、よって、微小変移
（たとえば８９°から９０°まで）に関して、２本の、

黄色で表したの線長（絶対値）は互いに等しくなる

のである。そして、離心近点角が９０°のときだけ
に限り、

離心率ｅが何であれ、黄色い線の長さは一定
だというのが、ケプラーの方程式の教えるところ

である。
　そして更に図のように、今度は太陽位置、つまり
焦点の一方から見て、面積速度を計算するのに必要
な、真近点角νの変移を考えてみると、
三角形ＯＢＦと、緑と黄の線を含む小さな三角形は
相似になっている。なお、

中心角が９０°点と、焦点を結んだ線の長さは、
楕円では、長半径の長さａと等しくなる。さらに
よって、黄色線長さ：緑線長さ＝ａ：ｂであるから、

離心率がｅの楕円の中心引力による面積速度は
ｂ／ａ倍であって、半径がａの円軌道より小さくなっ
ている

のである。ところで、楕円の総面積は円の総面積の
ｂ／ａ倍であったから、

それぞれが面積速度一定の、ケプラーの第２法則で
運動するとすれば、周期Ｔは、軌道長半径ａが決ま
れば、離心率ｅによらずに、同じになる。

以上で２も証明できた。
　エドモンド＝ハレーは、ほとんどこうだろうが、
恐らく、

ロバート＝フックも、逆二乗、ケプラー第一、ケプ
ラー第２の３法則から、ケプラー第３の、軌道長半
径３乗と公転周期２乗の比例は、こうやって求めた

のであろう。以上のやり方は天体の空間位置計算に
興味のある天文学者向きだが。物理に強くなろうと
いう方へは、力積、運動量、仕事、運動エネルギー、
位置エネルギー、エネルギーの保存則といった重要
な概念が、概ねスルーされるので、あまりお勧めは
できない。(2020/04/15の２)

コメント 2

フックの生涯において知識や理論が蓄積・発展していったプロセスを踏まえて
論じなければならないでしょうし、難しいです(＠_＠;) ちなみに、中島秀人
『ロバート・フック ニュートンに消された男』（朝日選書,1996）のフックと
ニュートンの力学の論争を取り扱った章の結び、「もう一つ重要な問題として、
フックの引力の概念が、万有引力とは多少異なるという点が挙げられる。」も
論じられてました(＠_＠;) 広瀬秀雄『天文学史の試み』、面白そうですね(^^)
by middrinn (2020-04-15 13:05) 

middrinn様　コメントどうもありがとうございます。
１．ロバートフックは、望遠鏡の計測十字線の発明者。
２．ロバートフックは、地球の公転軌道が楕円であることの証明者。
３．軌道離心率が２％程度なため。チコ＝ブラーエの観測レベルでは、
地球の軌道型は決定困難である。
４．太陽の視直径を、十字線つき望遠鏡と、ストップウオッチを使って
収差の影響が出ないように、視野中央だけで測定し、相対的な
地球太陽間距離をきめれば、地球公転軌道形の精密化は可能である。
以上１～４の情報が、私の所には、今の所ばらばらに有ります。
望遠鏡の時代になったら、チコ＝ブラーエを越える人間が出るとい
うのは、当たり前だと言えばそれだけですが。地球の公転軌道を、
現実きっちりと測定してくれたロバートフックは、偉大だと私は思います。

by df233285 (2020-04-15 20:32)