略Ａｒｃｔａｎ近似計算のやり方の改善（長さん）

現代では、エクセル関数や言語の関数にａｒｃＴａｎ
は実装されていて、近似式で略算することは滅多に
無いのであろうが。計算機が今ほど普及し無かった
前世紀には、教育出版、新しい応用の数学８
「初等関数の数値計算」、一松信著に、ａｒｃＴａｎ
の、折れ線近似の式が載っていたりもした。
　関数電卓等は持込不可だとして、暗算で物体の運動
による直角座標の変化から、極座標の方位角を求める
際に、便利だと私的に感じている。が、具体的に前記
成書の方位角計算近似式は、既に紹介している奔将棋
の、自由にどんなアナログ角度に走れる、（仮称）
「超奔王」駒の走る升目数を知って、その方向の方位
角を計算するには、精度が不足である事を以前、本ブ
ログで示してきた。今回は、前記成書の近似式を、

近似する折れ線の数を２本から３本に増やす事により、
将棋で遊ぶレベルでは、必要な精度を出してみよう

とする試みの紹介である。
　３／７（０の０升目を起点として３の７か、７の３
位置に動く）が正弦値で、それを小数に直すと
０．４２８５・・倍程度までを、従来の一松信式の、
５５×正弦とし、

０．５ではなくて０．４２８５・・程度を超え０．８
未満を４２×正弦＋５．５、それ以上で１．０倍まで、
３０×正弦＋１５と、３つに分ける、

やり方を、本ブログでは独自に考えた。
　簡単に経過を記す。
　折れ線近似を踏襲する限り、

前記成書の精度が、飛びぬけて上がるやり方は無い

ようである。そこで、

式が２つでは無くて、３つ程度までなら我慢も出来る

だろうと、私は考えた。特に、
　４０×分数＋７と４２×分数＋５．５は、煩雑性に
差が感じられないので、０．５から０．４２８５・・
へ、使用する変数域の下限をシフトさせておいて、
４０×正弦＋７を４２×正弦＋５．５に変えた。
　４２は代入する数値が分数になるとき使いやすいし、
５．５は０．４２８５・・まで使った倍数の１／１０
なので、元の式と比較しても、

より、覚えやすかろう

と私は考えた。そうすると、正弦が０．８以上になる
と、一松信式よりも精度が悪くなる。ので、別に
変数域が０．８以上の場合について、

３０×正弦＋１５を持ってきた。

３０は４０の１０違いで、元の０．５以上の式と似て
いて覚えやすいし、１５も覚えやすいし、正弦が１の
ときに、３０＋１５で４５°だからと、屁理屈をこね
れば、記憶は容易だろう。
　こうして近似で当てはめる折れ線を増やすと、以下
の誤差計算グラフのように左から右の挙動に変化して、



　紹介した成書のときよりも、極端に値が異なる場合
が無くなる。
　特に、０．５が２７～２７．５°から２６．５°に
変わるのが大きいし、１が４７°からぴたりと４５°
になる。
　３の１で８の４駒が隠れるかという問題での合否の
逆転問題は、明らかにこの変更で解決するし、そもそ
も０．５が２６．５７°、１が４５°（こっちは当た
り前だが）が、”暗記”という事も無くなるので、
覚える式が増加する手間を効果が上回る事は、恐らく
確かだろうと、私は考えている。(2023/10/25)