一定半径で格子状に整数座標配置円の内接線暗算の難易（長さん）

これまで、一定半径で格子状に整数座標で
配置された２円の共通外接線は、Ｙ切片の
数値・符号の暗算が公式の存在により容易
であり、向こう側の円の手前円による遮蔽
を調べるのに、各円の接線方位角を比較す
るよりも、原点を遮蔽状態の観測点とし、
公式で、共通外接線のＹ切片を求めて、
円同士の、見え隠れを推定した方が、簡単
である事を示した。
　観測点（超奔王駒位置）を（０，０）と
し、近傍円、遠方円の位置をそれぞれ
（ｍ１，ｎ１）（ｍ２，ｎ２）としたとき、
排除円が半径√２なら、直線の傾きＡは、
共通外接線について、

Ａ＝ｎ２－ｎ１／（ｍ２－ｍ１）

と、円の半径が常に√２の為簡単になり、
Ｙ切片Ｂは、

Ｂ＝ｎ１－Ａ×ｍ１干√Ａの２乗＋１／√２

と、比較の為方位角を求めるよりも、ごく
簡単だったという事だった。
　では、外接線ではなく、内接線で、第３
の駒が超奔王にとってターゲットであり、
２つの駒の「穴」から、第３ターゲット駒
が覗いているのかという問題で、遮蔽駒の
「穴」の有無を調べるための、今度は、
２円共通内接線は、以前に本ブログで簡単
にコメントしたように、暗算困難というの
は、本当なのかを、今回は以下のように、
詳しくチェックしてみた。
　２円共通内接線を計算せずに

方位角同士の比較暗算した方が、やはり楽

なようである。
　今回も、以前に引き続いて、以下の受験
数学のｗｅｂサイトをチェック／トレース
するという方法で、上記点を確かめた。
「大学受験数学自学自習応援: 難関大入試問題
と解答２０１９：２円の共通接線愛知教育大」
エイチティティピーエス://suugakujigaku.com/
　外接線の場合は、２点は式を求める直線
の同じ側に有るのだが、内接線では円の中
心である２点が、反対側に有るので、それ
ぞれ２点から√２距離になる直線の方程式
を求めようとして、連立方程式を立て、左
辺を等しいと置いても、それらの絶対値が
等しくても、距離の符号が逆の場合となり、
共通外接線の場合と異なり、共通内接線で
はＹ切片の未知数ｂが消去出来ずに、２倍
のまま残る。
　そこで、移項したあと１／２して、連立
方程式の一方に辺々を足すという、普通だ
が、そのやり方でＢを消去するが。
左辺の分母を掛けると、√の中にＡの２乗
が入る形となる為、左右式を２乗して、直
線の式の傾きＡは２次方程式にして、根の
公式から求めなければならず、

ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ＝０のａ，ｂ，ｃは、
それぞれ、以下のようにかなり複雑化する。

ａは１／４{（ｍ２－ｍ１）（ｍ２－ｍ１）－２}
のような形。{}内は、２０～３０の整数。
ｂは、－１／２×（ｍ２－ｍ１）（ｎ２－ｎ１）
のような形。（）の２乗でやはり、何十で
あるが、多分負の数である。
ｃは、１／４{（ｎ２－ｎ１）（ｎ２－ｎ１）－２}
になり、{}内は、２０～３０の整数。
「＝０」なので、１／４倍は消去可能と考
えられる。
　また、ここでｂが偶数になるので、

ｘ＝－（ｂ／２）±√{（ｂ／２）（ｂ／２）－ａｃ}／ａ

という根の公式の変形式が、たぶん使える
パターンだとみられる。
　そこで、問題は
－（ｂ／２）／ａ±√（ｂ／２）（ｂ／２）－ａｃ／ａ
としたときの、
√{（ｂ／２）（ｂ／２）－ａｃ}／ａの暗
算だとみられるが、暗算し易くするため、
√〔{（ｂ／２）（ｂ／２）－ａｃ}／（ａ×ａ）〕
としたとして、分母も分子も、一千何百と
いう数の程度だと私は思う。この暗算は、

１か２の一桁の整数が答えになるのだろう
が、割る数の桁が多いため、以前述べた
方位角の暗算に比べて、かなりしんどい

はずである。計算自体が、対局を多数繰り
返すと、何回も同じ計算をする事になる
のは、方位角計算も、接線の傾き・Ｙ切片
計算も同じだとは思えるのだが。
　そして後で、－（ｂ／２）／ａを足す
わけだが、中心点の方位角を足す手間の
程度だろう。
　なお、これで出るのはＹ切片では無く
て、傾きＡであるから、たぶん

Ｂ＝（ｎ１＋ｎ２）－Ａ（ｍ１＋ｍ２）／２

だと見られる公式で、更に計算すると、
Ｙ切片が、ようやく求められるようだ。

何れにしても、２円の共通内接線の直線
の、傾きを求める為の、二次方程式の、
平方根の中身の割算暗算が、方位角比較
方法よりも、相当困難になるのが致命的

なように、私には見える。
　よって２つの駒で、第３の駒が見えて、
超奔王を２駒を突き抜けさせて、駒が取
れるかどうかというルールについては、
以前述べた、方位角の比較方法を取る事
にした方が、やはり良いように思えた。
　確か３例、厳密に計算したときに対し
て、本当は「合法手」が「非合法手」と
真逆の結論になって矛盾してしまうが。
近似計算結果の「非合法」の方をルール
とみなして、それらのケースは我慢せざる
を、得ないのではないだろうかと、私は
考える。(2023/11/05)