２円共通内接線の傾きは公式化可能（長さん）

既に、半径が１／√２で等しく、座標が８までの
整数である２円の共通内接線の傾きを、高校数学
の幾何学的方法で４例求め、暗算で出来るかどう
かをチェックして報告した。
　０の２と３の６のケースに、三角関数の正接の
加法定理の式の変形が、分母で割る数の数値が、
２０７程度に大きくなり、頭の中だけで答えを出
すとしたら、だいぶんしんどいのではないかと述
べた。
　将棋類で、左香車の位置にある奔将棋の超奔王
が、同左香車前と相手右金将前の歩兵が初期位置
に居ると、右金将に直射しているかどうかという
ケースで、対局中に暗算して、それを求める事を
想定しているからである。
　今回は、それなら最初に代数計算をして、

公式を作り、代入するだけにしたら楽にならない
のか

をチェックし、

驚くほど楽になる

事が判り、唖然としたので以下に報告する。
　以下の図は、ごちゃごちゃしているが、その、
三角関数の正接の加法定理の式の変形をした過程
を示している。



　演算中に出てくる変数は、２円のＸ座標の差

Δｍと、Ｙ座標の差Δｎの２種類だけである。

　それ以上に、上図に書いたように結果が単純に、

ｔａｎ（α＋β）＝
[Δｍ×Δｎ＋√{２×（Δｍの２乗＋Δｎの２乗－２）}}
／（Δｍの２乗－２）

なのには驚かされた。
　冒頭で書いたが、以前にした０の２と３の６の
合成傾きｔａｎ（２円中心傾き＋内接線傾斜分）
についても、上図に付け加えたが、
Δｍ＝３、Δｎ＝４でΔｍの２乗＋Δｎの２乗－２
＝２３であり、

ｔａｎ（２円中心傾き＋内接線傾斜分）＝
｛１２＋√（２×２３）｝／７＝｛１２＋√４６｝／７

と、いとも簡単に出てしまった！
　公式を覚えるのは、さほど困難とも思えず、
代入して出すのが暗算では困難とは、かなり言い
辛そうである。あとは、０の０を通るときの傾き
と比較して、

｛１２＋√４６｝／７＝
（３６＋√４１４）／２１＞（３６＋√４００）／２１
＝８／３＝４／１．５で、Ｙ切片負なので禁手

が、暗算できるかどうかに掛かってはいるが。
　再度訂正するのも、甚だ見苦しく心苦しいが、

方位角比較法と、ｙ切片法のどちらでも良い

と結論を変えざるを得なくなってしまったようだ。
(2023/11/11)