二円共通内接線計算に暗算困難な例存在（長さん）

今迄述べたように、幾何学で同半径の２円の
共通内接線のＹ切片値を、暗算で正確に求め
る演算は、さほど困難では無い例がある。
　しかしながら今回は、方位角を求めて比較
するほうが、はるかに楽な例が見つかったの
で、以下に報告する。
　２の０と６の３で８の３の駒を被覆可能、
または、方位角を４５°以上にしてＹ切片
精度を出すため同じ計算になるのだが、
０の２と３の６で３の８の駒を被覆可能かを、
升目に対して１／√２半径の排除円（前記
被覆円）２円について調べる演算である。
　一例では自陣左香車の位置に超奔王を置き、
味方の左香車上の初期位置歩兵と、相手の
右辺金将先の初期位置歩兵で、相手初期位置
右金将が隠れるのかという、たまに起こるか
もしれないようにも見えるケースである。以
下の結果から、着手すると禁手負けになるが、
以前、三角関数表やＰＣを使った正確な計算
と、円の視半径４２°を定数として円視半径
升目距離逆比例暗算の近似計算とで、非合法
手になるとの結論に、差が無い事も確かめて
いる。
　最初に、方位角を４５°以下にする最初の
パターンで、以前求めたように、計算すると、
２の０駒については三角関数厳密計算で上が、
２０．７０５°。６の３駒が、三角関数厳密
計算で下が、２０．５１４°に近くなるのだ
が、略算でどうなるのかを、確かめてみる。
なお、パソコンでＮ８８Ｂａｓｉｃを使って
出したリストの、３５番と３６番のケースで
ある。
　既に示したが、２の０駒の視半径は２１°
であり、方位角は中心０°で上限２１．０°。
６の３駒は視半径が１８．７８２９／３≒
６．２６１°で、方位角が４２×（１／２）
＋５．５で２６．５°と略算するから下限は、
２０．２３９°で、非合法だと略算で簡単に
出る。
　そこで、今度は幾何学で共通内接線を求め
て、Ｙ切片が負で非合法と出るのかどうかを
確かめてみる。
　今度は、Ｙ切片の精度を出すため、同じ計
算だが０の２と３の６で３の８の駒を被覆可
能かどうか、後の問題に形式的に直してから
調べる演算をする。
　ごちゃごちゃするが、下図のようになる。



　つまり、０の２と３の６の円の中心を結ん
だ線が、水平になるように回転しておいて、
共通内接線の正接（傾き）を上図のように
計算すると、√（２／２３）になるようで
ある。
　そこで、三角関数の正接の加法定理の式に
代入すると、上図にも書いたが、
（４／３）＋√（２／２３）／
１－（４／３）×√（２／２３）
となるのだが、有理化するために分母分子に

１＋（４／３）×√（２／２３）を掛けて
展開したとき、分母が１７５／２０７になる
等で、余り暗算が楽では無い。

結局　大学入試の回答風に書くと、正接の合
成で得られる２円共通内接線の傾きは
（１２＋√４６）／７になるようだが、

Ｙ切片が０のときの傾き：４／１．５と比較
するには、（３６＋√４１４）／２１に通分
し、複雑化し直す必要がある。

つまり、
（３６＋√４１４）／２１＞（３６＋√４００）／２１
＝５６／２１＝４／１．５
を使いＹ切片は負になると計算するのである。

両計算とも、着手は非合法でこのケースは一
致するのだが、このように、

方位角を略算した方が、はるかに速いケース
が有る

のである。よって、本ブログで発案した奔将
棋の超奔王ルールでは、２つの駒の隙間から、
取りたい駒が超奔王駒から見て、ほんの一部
でも良いから見えているのかどうかという、
円の共通内接線の方程式を求めるパターンの
計算では、

最初に示した、方位角略算を優先させるよう
なルールに、やはりした方が良い

と私は今回ようやく、はっきりと認識出来た。
　たぶん、ピタゴラスの３角形に２円の共通
内接線型になる２円の傾きやＹ切片問題の中
に、有理化で１６×２／（９×２３）という
ような分数が出来て、消去出来ないような、
余り面白くない例が有るという事までは、各
種大学受験問題集にも、載って無いのではな
いかと、私は予想している。何故なら、それ
を受験生にさせる事に対するフォークソング
の、昔の「受験生ブルース」の文句にあるよ
うな反感を、彼らに抱かせないようにする為、
避ける為であると、本ブログの管理人は邪推
するからである。(2023/11/10)