２円の共通内接線を、幾何学で解いてみる（長さん）

今回は、数学の代数で２次方程式の根の公式で
答えを出した問題を、三角関数正接（Ｔａｎ）
の加法定理を使い、かつ、代数ではなく幾何学
的に、図をイメージして解き、暗算が出来ない
かどうかを、チェックしたという話題である。
　問題は既に本ブログで話題にした、半径が
１／√２で等しい２円の共通内接線の、傾きや、
ｙ切片を求め、前記２円は排除円だとして、２
つの駒の隙間から、第３の取りたい相手の駒を、
どんな方向にも走れる超奔王という、仮想の駒
で取る手が、合法か、非合法かという判別を
目的としてものである。
　意外だったが、ｔａｎ（α＋β）＝
ｔａｎ（α）＋ｔａｎ（β）／１－ｔａｎ（α）×ｔａｎ（β）
の、分子分母の割り算の暗算で、頓挫してしま
うという事が判った。
　最後のあと一歩の所までは、

方位角の比較暗算よりも、図形がイメージ出来
れば、むしろ暗算の演算は早い

ようである。代数的に２円の内接線の方程式
を立てて、２次方程式の根の公式に代入する、
抽象的解き方よりは、かなり人間に、把握し
易くなる。
　例として、（１，４）と（３，５）の駒で、
（３，７）の駒が隠れるかという問題で以下
に、今回テストしたやり方を説明する。
自駒金将前の歩兵駒を、取り捨ての位置まで
上げ、相手の桂馬前の歩兵と、上げた取り捨
て直前味方歩兵の２駒で、相手陣で初期位置
に居る桂馬位置の駒が、味方の超奔王で直射
するかどうかという例で示される問題である。
　以前ＰＣで（１，４）と（３，５）方位角
の比較をした結果から、略算で非合法になる
のに、厳密に角度を計算すると合法で、桂馬
位置の駒は見えているという事を示した、同
様な、精密／略算反転の例のうちの、一つで
ある。
　このケース、人間には頭の中で、本来下記
のように回転させて、２円の中心を結ぶ線が、
水平になり、円中心同士の距離が√５である
という幾何学図は、公式から代数方程式を作
らなくても本来は、描けるはずである。



　すると、図に書き込んだようなプロセスで、
円と円を結んだ線に対し、問題にしている２
円の共通内接線のうちの１本の傾きは、＋
√２／３であると出せる。
　ポイントは、垂線と円の中心のなす角と、
座標軸のｘｙ軸のなす角は、共に垂直なので、
⊿ＯｐＳと⊿ｙＯＳとは相似であり、

Ｏｙ＝Ｏｐ×ＯＳ／Ｓｐ

のはずだという事である。そして

Ｓｐ＝√（ＯＳの２乗－Ｏｐの２乗）

である。傾きはＳｐ／ＯＳである。
　そもそもｙ切片は、

２円の中点の座標（２，４．５）から、
４．５－傾き×２で簡単に出せる

ので、傾きが２．２５以下ならｙ切片が
プラスになり、穴が見えてくる事までは、

幾何学イメージが出来ていれば頭の中で簡単
に思い浮かべる事が出来る。

　ところが、その傾きだが、このケースには、
三角関数の正接の加法定理の公式：
ｔａｎ（α＋β）＝
ｔａｎ（α）＋ｔａｎ（β）／１－ｔａｎ（α）×ｔａｎ（β）
に代入し、求めようとすると、ちなみに
√（２／３）＝２．４４９４９／３＝０．８１６・・
は、√６が「似よ良く良く」で暗算で出せ、
１／２＋√（２／３）／１－（１／２×√２／３）
≒１．３１６・・／（１－０．４０８）
＝１．３１６・・／０．５９２
となるのだが。
　この１．３１６／０．５９２が２．２５
より大きいのかどうか電卓が有れば２．２２
前後で小さいと、一瞬で出るのだが、

暗算では、かなり面倒だと、私は疑う

のである。
　以上１例だけだが。他でも正接（Ｔａｎ）
の加法定理公式に代入時の割り算が、現実に
は暗算で、ネックになるのではないかと、私
は疑う。
　本当に惜しいところだが、以上の点で同じ
半径円の共通内接線のｙ切片の計算よりも、
以前に示した方位角同士の比較計算の方が、

やはり、少しだけ勝っている

ように、私には依然として結論された。
代数計算は、円座標が実数で大きさがまちま
ちのときに、威力を発揮するが、同大きさ円
で中心座標が整数の如くに規則正しい時には、
幾何学図形を書いた方が、求め易いような気
がしたので、以上追加で、今回報告した次第
である。(2023/11/07)